Matematika tanári kiegészítő képzés

Tantárgyak tematikái

 

Klasszikus algebra

Tematika: Számfogalom felépítése, Peano-axiómák, egész számok, racionális számok és valós számok, műveletek, rendezés. Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak, gyökvonás, egységgyökök. Oszthatósági alapfogalmak integritástartományban, euklideszi gyűrűk. Maradékosztálygyűrűk, Euler-Fermat tétel. Lineáris diofantoszi egyenletek, lineáris kongruenciák, szimultán kongruenciák. Test feletti egy- és többhatározatlanú polinomgyűrűk. Irreducibilitási kérdések. Racionális törtfüggvények teste, parciális törtek. A szimmetrikus polinomok alaptétele. Az algebra alaptétele, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása. Egyenletek közös gyökeinek, egyenletek többszörös gyökeinek meghatározása. 2+0 Sz.,K.,

kód:ML6101.

Kombinatorika és gráfelmélet

Tematika: Alapvető leszámolási eljárások. Binomiális ill. polinomiális tétel. Szitaformula. Gráfelméleti alapfogalmak. Fák, Kruskal-algoritmus, vágások, körök. Euler-utak, Hamilton-körök és Hamilton-utak. Irányított gráfok. Gráfok síkba rajzolhatósága, dualitás. Páros gráfok. Gráfok és mátrixok. Gráfok színezése, kromatikus szám, kromatikus index. Vizing-tétele. Ramsey-tételek. 1+0 Sz.,K.,

kód:ML6111

Lineáris algebra

Tematika: Véges dimenziós vektorterek, bázis, dimenzió, alterek, lineáris sokaságok. A mátrixok algebrája, rangszámtétel, determinánsok, kifejtési tétel, szorzástétel. Vektor- és mátrixnormák. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága, Gauss-elimináció, Cramer szabály. Lineáris formák, kvadratikus formák. Lineáris leképezések, sajátérték, sajátvektor, invariáns altér. 2+0, Sz.,K.,

kód:ML6111

Komputeralgebra

Tematika: Az egész számok gyűrűje és ábrázolásuk, alapműveletek, maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó kiszámítása, lineáris diofantoszi egyenletek megoldása. Maradékosztálygyűrűk: kínai maradék algoritmus (CRA) euklideszi gyűrűkben, egész számok moduláris ábrázolása, lineáris diofantoszi egyenletek megoldása CRA segítségével, szitamódszerek, prímtesztek. Polinomok, maradékos osztás, legnagyobb közös osztó számítása moduláris aritmetikával. Gyakorlaton a hallgatók megismerkednek a MAPLE komputeralgebrai rendszerrel. 1+0,K

kód:ML6112

 

Algebra

Tematika: A csoportelmélet alapfogalmai. Homomorfia és izomorfia tételek. Cayley és Lagrange tételei. Véges Abel-csoportok alaptétele. Permutáció-csoportok. Feloldható és egyszerű csoportok.Csoportok leírása. Kommutatív gyűrűk. Főideálgyűrűk és euklideszi gyűrűk. Az egyértelmű prímfaktorizáció tétele gyűrűkben. Dedekind gyűrűk. Testbővítések, Frobenius tétele. Galois-elmélet és egyenletek gyökképlettel való megoldhatósága. A Galois-elmélet geometriai alkalmazása. 3+0 Sz.,K.,

kód:ML6103.

Számelmélet

Tematika: Számelméleti függvények: osztók száma, összege, Euler-féle és Möbius-féle függvény és alkalmazásaik. Additív és multiplikatív függvények viselkedése, átlaguk az osztók számán illusztrálva. Prímszámok sorozatának végtelensége, Dirichlet tételének speciális esetei. Prímszámok reciprokainak összege. Az x-nél nem nagyobb prímek számára vonatkozó becslések. Algebrai számtestek, egész bázis, norma, egységek, ideálosztályszám. Diofantikus egyenletek. A geometriai és az additív számelmélet elemei. Minkowski tétele és alkalmazásai, lineáris diofantoszi egyenlőtlenségrendszerek megoldhatósága, természetes számok négyzetösszegként való előállítása. Diofantikus approximáció, Dirichlet tétele, transzcendens számok. 2+0 Sz.,K.,

kód:ML6104

Az algebra és a számelmélet újabb eredményeiről

Tematika: Az algebra fejlődése a XX. században. Csoport- és gyűrűelméleti eredmények és problémák. Bursinde problémák hatása az algebra fejlődésére és a torziócsoportok elmélete. Gyűrűelméleti módszerek a csoportelméletben: Lie algebrák és p-csoportok kapcsolatai. Bursinde-típusú probléma a gyűrűelméletben, Kuros problémája az algebrai algebrákról. Golod és Safarevics eredményei.

Nevezetes számelméleti sejtések, problémák jelenlegi állásának ismertetése: Fermat-sejtés megoldása, Goldbach-sejtés, ikerprím-sejtés, Waring-probléma, tökéletes számok, Mersenne-féle prímek, számok irracionalitásával és transzcendenciájával kapcsolatos kérdések. Számítógépes módszerek és eredmények a számelméletben. 1+0. K,

kód:ML6106

Algebra és számelmélet szigorlat

Tematika: Természetes számok, műveletek, rendezés, teljes indukció. Az egész számok gyűrűje, rendezés. A racionális számok teste, rendezés. Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak, gyökvonás, egységgyökök.

Alapvető kombinatorikai leszámlálási eljárások, binomiális-, polinomiális-tétel. Gráfelméleti alapfogalmak, fák, Kruskal-algoritmus. Euler-utak, Hamilton-utak és -körök.

 

Egy és több határozatlanú polinomgyűrűk, racionális függvények teste, parciális törtek, szimmetrikus polinomok alaptétele. Az algebra alaptétele és következményei. Harmad- és negyedfokú egyenletek. Egyenletek közös gyökeinek, egyenletek többszörös gyökeinek a meghatározása.

Véges dimenziós vektorterek, bázis, dimenzió, alterek, lineáris sokaságok. A mátrixok algebrája, invertálhatóság, rangszámtétel. Determinánsok elemi tulajdonságai, kifejtési tétel, szorzástétel. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltétele, a megoldáshalmaz jellemzése. Az általános megoldás megkeresése, Cramer-szabály, az elimináció módszere. Véges dimenziós vektorterek lineáris leképezései, műveletek tulajdonságai, reprezentációjuk mátrixokkal. Sajátérték, sajátvektor, invariáns altér meghatározása.

Egész számok kongruenciája, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek megoldása. Számelméleti függvények: osztók száma, összege, Euler-féle és Möbius-féle függvény és alkalmazásaik. Az Euler-Fermat tétel. Additív és multiplikatív számelméleti függvények viselkedése, átlaguk az osztók számán illusztrálva. A prímszámok sorozatának végtelensége, Dirichlet tételének speciális esetei. Prímszámok reciprokainak összege. Az x-nél nem nagyobb prímek számára vonatkozó becslések. Algebrai számtestek, egész bázis, norma, egységek, ideálosztályszám. Egyértelmű prímfaktorizáció kérdése algebrai számtestek egészeinek gyűrűjében. Diofantikus egyenletek. A geometriai és az additív számelmélet elemei. Minkowski tétele és alkalmazásai, lineáris diofantoszi egyenlőtlenségrendszerek megoldhatósága, természetes számok négyzetösszegként való előállítása. Diofantikus approximáció, Dirichlet tétele, transzcendens számok.

A csoport fogalma, izomorfia, permutációcsoportok. Cayley tétele, részcsoportok, mellékosztályok, Lagrange tétele. Normálosztó, homomorfia tétel, direkt szorzat, a véges Abel-csoportok alaptétele. Feloldható és egyszerű csoportok. Kommutatív gyűrűk. Főideálgyűrűk és euklideszi gyűrűk. Az egyértelmű prímfaktorizáció tétele gyűrűkben. Dedekind gyűrűk. Testbővítések, Galois-elmélet és egyenletek gyökképlettel való megoldhatósága.

kód:ML6114

Halmazelmélet és az analízis alapjai

Tematika: Halmazok, relációk, leképezések és függvények. Rendezett halmazok. A kiválasztási axióma és nevezetes ekvivalensei. A valós számok axiomatikus bevezetése és a komplex számtest megkonstruálása. Számosságok, véges és végtelen halmazok. Vektorterek, euklideszi terek, metrikus terek. R, Rn és a metrikus terek alapvető topológiai tulajdonságai. Sorozatok és sorok. Függvények folytonossága és határértéke. Monoton függvények. Függvénysorozatok és függvénysorok; hatványsorok, elemi függvények. 3+0,Sz.,K.,

kód:ML6201

 

Differenciál- és integrálszámítás

Tematika: Totális, iránymenti és parciális derivált; egyváltozós függvények deriváltja. Differenciálási szabályok. Középértéktételek. A folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata. A vegyes parciális deriváltak felcserélhetősége. Taylor formulák. Szélsőérték, feltételes szélsőérték. Konvexitás. Függvényvizsgálat. Egy- és többváltozós függvények Riemann-integrálja. Integrálhatósági kritériumok. Az integrálható függvények főbb osztályai. Az integrál alaptulajdonságai. Szukcesszív integrálás. Integráltranszformáció. Korlátos változású függvények, ívhossz. A Riemann-Stieltjes integrál. Paraméteres integrálok. Pályamenti integrálok. Az integrál, mint a felső határ függvénye. A primitív függvény fogalma és kapcsolata az integrálással. Integrálási módszerek. Improprius integrálok. 2+0,Sz.,K.,

kód:ML6202

Differenciálegyenletek

Tematika: Alapfogalmak. Átviteli elv. Elemi megoldási módszerek. Cauchy-feladatok. Lineáris differenciálegyenletek és egyenletrendszerek elmélete. Peremfeladatok. A variációszámítás alapfeladata, az Euler-Lagrange differenciálegyenlet. Numerikus eljárások. 2+0,Sz.,K.,

kód:ML6203

Valós függvénytan

Tematika: Mértékek konstruálása. Lebesgue-mérték. Mérhető függvények. A Lebesgue-integrál. Az L1 és L2 terek. Ortogonális sorok. Trigonometrikus sorok. Folytonos függvények approximációi. 2+0,K.,

kód:ML6204

Fejezetek a modern analízisből

Tematika: Lineáris normált terek, Banach-terek. Korlátos lineáris operátorok és funkcionálok. Baire-féle kategória tétel és alkalmazásai. Nyílt leképezés tétel. Zárt gráf tétel. Banach-Steinhaus-tételek. Hahn-Banach-tétel. Hilbert-terek. Ortonormált rendszerek. Ortogonális felbontási tétel. Riesz reprezentációs tétele. Adjungált operátor. Normális, unitér és önadjungált operátorok. Banach-algebra. Spektrum, spektrálsugár. 2+0, K .,

kód: ML6205.

Analízis szigorlat

Tematika: Halmazok, relációk és függvények. Rendezett halmazok. Valós számok axiómarendszere. Természetes, egész és racionális számok. Komplex számok. Metrikus terek. Nyílt és zárt halmazok. Belső szorzat és normák Rn-ben. Cauchy-sorozatok. Teljesség. A kompaktság jellemzései. Sorozatok konvergenciája. Határértéktételek sorozatokra. Sorok konvergenciája, abszolút és feltételes konvergencia. Konvergencia kritériumok. Cauchy-szorzat. Függvény határértéke, folytonossága és egyenletes folytonossága. Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai. Egyváltozós függvények deriváltja. Többváltozós függvények totális, iránymenti és parciális deriváltja. Differenciálási szabályok. Középértéktételek és egyenlőtlenségek. A folytonosság és differenciálhatóság elegendő feltételei. Vegyes parciális deriváltak felcserélhetősége. Függvénysorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Hatványsorok. Elemi függvények. Függvényvizsgálat, konvexitás. Taylor formulák. Szélsőértékszámítás. Feltételes szélsőérték. Egy- és többváltozós függvények Riemann-integrálja. Integrálhatósági kritériumok. Integrálható függvények főbb osztályai. Az integrál alaptulajdonságai. Newton-Leibniz-formula. Az integrál mint a felső határ függvénye. Primitív függvény létezése és egyértelműsége. Parciális és helyettesítéses integrálás. Racionális törtfüggvények integrálása, racionalizáló helyettesítések. Improprius integrálok. Szukcesszív integrálás. Integráltranszformáció. Korlátos változású függvények, ívhossz. Pályamenti integrálok, kvadratúra probléma. A differenciálegyenletek elméletének alapfogalmai. Átviteli elv. Elemi módszerek. Cauchy-feladatok. Elsőrendű lineáris vektor differenciálegyenletek. Magasabbrendű lineáris skalár differenciálegyenletek. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange-differenciálegyenlet.

kód:ML6215

Geometriai szerkesztések

Tematika: Szerkesztési feladatokról általában; a Descartes-féle megoldástípus. Az euklideszi szerkesztés (RC-szerkesztés) algebrai alapjai, az euklideszi szerkeszthetőség jellemzése (négyzetgyökbővítés, euklideszi test; az RC-számok teste megegyezik Q2 négyzetgyökbővítéseinek uniójával). A három klasszikus RC-szerkesztési probléma megoldhatatlansága. A szabályos sokszögek szerkeszthetősége, a probléma megfogalmazása a komplex számok nyelvén. A Gauss-Wantzel tétel. Aranymetszés, szabályos öt- és tízszög szerkesztése. Inverzió és alkalmazása szerkesztési feladatok megoldására. Szerkesztések csak körzővel, a Mohr-Masceroni tétel. Szerkesztések csak vonalzóval. 3+0,Sz.,K.,

kód:ML6301

Geometriák és modelljeik

Tematika: Háromdimenziós affin tér, ill. affin sík axiomatikus bevezetése. A Desargues-tétel affin verziói. Affin transzformációk. Vektortér-modell. Affin alterek; alapvető illeszkedési tételek.

Három- és kétdimenziós euklideszi vektorterek, mint a klasszikus euklideszi tér, ill. sík modelljei. Euklideszi vektorterek izometriái, R3 és R2 izometriáinak leírása. Hasonlóságok, fixponttétel. Euklideszi vektortér affin transzformációinak előállítása.

Projektív síkok és terek axiomatikus értelmezése, az affin-projektív kapcsolat. Desargues és Pappos-féle záródási tulajdonság. Projektív transzformáció, kettősviszony-tartás. 3+0,Sz.,K.,

kód:ML6302

 

Differenciálgeometria

Tematika: A térgörbék lokális elméletének elemei: görbület, torzió, Frenet-formulák. A görbeelmélet alapvető egzisztencia-unicitás tétele. A felületek globális értelmezése és különböző megadásai. Első alapforma, első alapmennyiségek és elemi alkalmazásaik. Második alapforma, 2. alapmennyiségek. Normálgörbület, főgörbület, Gauss- és Minkowski-görbület. Kovariáns differenciálás felületen. Geodetikusok. A felületelmélet alapegyenletei. A theorema egregium. 3+0,Sz.,K.,

kód:ML6303.

Fejezetek a geometriából

Tematika: A geometria azon további fejezetei kerülnek tárgyalásra, amelyek a középiskolai geometriaoktatás szempontjából fontosak.1+0,K.,

kód:ML6305

Geometria szigorlat

Az abszolút geometria megalapozása. A nemdefiniált terminusok rögzítése. Illeszkedési struktúrák; a vonalzó-, félsík-, szögmérő- és a kongruencia-axióma megfogalmazása a kimondásukhoz szükséges fogalmak bevezetésével együtt. A vonalzóaxióma néhány fontosabb következménye. A Cantor-Dedekind - féle tulajdonság.

Rendezési- és kongruencia – tételek. A félsík-axióma fontosabb következményei. A Pasch-tétel és a crossbar-tétel. A "pons asinorum". Kongruencia - tételek háromszögekre.

Egyenlőtlenségek. A külsőszög-egyenlőtlenség. Legendre szögtételei. A klasszikus háromszög-egyenlőtlenség levezetése a szükséges előzményekkel együtt.

Merőleges és párhuzamos egyenesek. A merőleges egyenesek egzisztencia-unicitás tétele, a párhuzamos egyenesek egzisztencia-tétele abszolút síkon. A párhuzamosság elegendő feltételei. Az euklideszi párhuzamossági axióma és nevezetesebb ekvivalensei. Szükséges feltételek az euklideszi sík két egyenesének párhuzamosságára.

A Descartes - féle modell. Rn, mint folytonosan rendezett illeszkedési struktúra. R2 egyeneseinek jellemzése, az euklideszi párhuzamossági axióma ellenőrzése. Félsíkok, szögmérték és kongruencia R2-ben.

R2 izometriacsoportja. Tengelyes tükrözések és fontosabb tulajdonságaik. Transzlációk, forgások. Három tengelyes tükrözésre vonatkozó tételek. Csúsztatva tükrözések. R2 izometriáinak osztályozási tétele.

Rn izometriái és hasonlóságai. Az ortogonális transzformációk jellemzése. Affin transzformációk és euklideszi mozgások. A hasonlóságok jellemzése, fixponttétel.

Affin és projektív struktúrák. Az affin és a projektív síkok axiómái. A dualitás elve. Affin sík projektív lezárása. Projektív sík algebrai konstrukciója. A Desargues- és a Pappos- féle záródási tulajdonságok.

Térgörbék. A parametrizált görbék fontosabb adatai; görbület, torzió, Frenet-egyenletek. A görbeelmélet alaptétele.

Felületek. A felületek globális értelmezése és különböző megadásai. Az első és a második alapforma. Normálgörbület, főgörbületek, Gauss- és Minkowski- görbület.

A felületek belső geometriája. Geodetikusok. A felületelmélet alapegyenletei. A theorem egregium. A hiperbolikus sík félsík-modellje. A klasszikus geometriák a csoportelmélet és a differenciálgeometria nézőpontjából.

Kód;ML6313.

Matematikai logika

Tematika: Elsőrendű nyelvek, formulák és termek. Szabad és kötött változók, változók szabályos helyettesítése termekkel. A nyelv szemantikája. Logikai törvények, logikai következmény. A formula prenex és Skolem formája. Konjunktív és diszjunktív normálformák. Predikátumkalkulus, dedukciótétel. A természetes levezetés technikája. Formális axiómatikus elméletek. Gödel teljességi tétele és Gödel inkompletibilitási tétele (megfogalmazás). 2+0,K.,

kód:ML6704

Valószínűségelmélet és matematikai statisztika

Tematika: A valószínűség szemléletes fogalma, a valószínűségi mező, a valószínűség kiszámítása kombinatorikus meggondolásokkal. Feltételes valószínűség, a teljes valószínűség tétele, események függetlensége. Valószínűségi változók, eloszlásfüggvény. Diszkrét és abszolút folytonos valószínűségi változók, várható érték, szórás, karakterisztikus függvény. Együttes eloszlás, függetlenség, konvolúció, korrelációs együttható. Nevezetes diszkrét eloszlások: hipergeometrikus, binomiális, Poisson-, negatív binomiális eloszlás. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások: egyenletes, exponenciális normális, chi-négyzet,t-, F-eloszlás. Valószínűségi vektorváltozók, a többdimenziós normális eloszlás. A nagy számok törvénye, a központi határeloszlás-tétel. Véletlen számok. A statisztikai minta, empirikus eloszlásfüggvény. Pontbecslések: torzítatlanság konzisztencia, a Rao-Cramér-féle egyenlőtlenség. A maximum likelihood becslés. Hipotézisek vizsgálata, első és másodfajú hiba. Paraméteres próbák: u- ,t- , F- , chi-négyzet próbák. Nemparaméteres próbák: chi-négyzet, előjel, és Wilcoxon-próba. Normalitásvizsgálat. Szórásanalízis. Regreszióanalízis. Egy statisztikai programcsomag főbb funkciói. Az 3+0, K

kód: ML6405

 

 

Konstruktív- és komputergeometria

Tematika: A komputergeometria elemei; a tér Monge-féle kétképsíkos ábrázolása; helyzetgeometriai és metrikus alapfeladatok.

Axonometria. Az ábrázoló geometriai eszközök alkalmazása klasszikus sík- és térgeometriai feladatok megoldására.

A komputergeometria elemei; egy programozási nyelv (pl. Pascal) grafikai lehetőségei; egy felhasználói szoftver (pl. Derive) megismerése, illetve alkalmazása geometriai feladatok megoldására. 1+1,Gy.,

Kód:ML6304

Numerikus analízis

Tematika: Függvények közelítése: interpoláció, legkisebb négyzetek módszere, egyenletes közelítések. Numerikus differenciálás és integrálás. Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása, polinomok gyökeinek közelítése. Lineráis egyenletrendszerek közelítő megoldása. Mátrixok faktorizációja, invertálása, determinánsának kiszámítása. Sajátérték, sajátvektor meghatározása.1+0,K.,

kód:ML6406.

Elemi matematika

Tematika: Feladatmegoldási módszerek a következő témakörökben: algebrai és transzcendens egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségrendszerek, vektorok, trigonometria, koordináta-geometria, kombinatorikai, gráfelméleti feladatok, függvények, valószínűségszámítás és matematikai statisztika.1+0,Gy.

kód:ML6704

Matematika tanítása

Tematika: Az algebra, a számelmélet, a kombinatorika, a gráfelmélet, a vektor, a trigonometria, a síkgeometria, a koordináta-geometria, a térgeometria, a halmazelmélet, a matematikai logika, a függvények, a sorozatok, a valószínűségszámítás és matematikai statisztika tanításának kérdései. 0+2,Gy.

kód: ML6206

Vissza az általános információkhoz.


Utoljára frissítve: 1999. 11. 11.
Készítette: Pere Zsolt
E-mail: perezs@math.klte.hu