Algebra és számelmélet szigorlat  (ML6105)

   1. Természetes számok , műveletek, rendezés, teljes indukció. Az egész számok gyűrűje, rendezés. A racionális számok teste, rendezés.

  2. Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak, gyökvonás , egységgyökök.

3. Alapvető kombinatorikai leszámlálási eljárások, binomiális-,  polinomiális-tétel. Gráfelméleti  alapfogalmak, fák, Kruskal algoritmus. 

4. Euler-utak, Hamilton-utak és -körök. Gráfok és mátrixok.

5.Egy és több határozatlanú polinomgyűrűk, racionális függvények teste, parciális törtek, szimmetrikus polinomok alaptétele .

6. Az algebra alaptétele és következményei. Harmad és negyedfokú egyenletek. Egyenletek közös gyökeinek, egyenletek többszörös gyökeinek  a meghatározása.

7. Véges dimenziós vektorterek, bázis, dimenzió, alterek, lineáris sokaságok.

8. A mátrixok algebrája, invertálhatóság, rangszámtétel. Determinánsok elemi tulajdonságai, kifejtési tétel, szorzástétel. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltétele, a megoldáshalmaz jellemzése. Az általános megoldás megkeresése, Cramer-szabály, az elimináció módszere.

9. Véges dimenziós vektorterek lineáris leképezései, műveletek tulajdonságai, reprezentációjuk mátrixokkal. Sajátérték, sajátvektor, ínvariáns altér meghatározása, mátrixok Jordan-féle normál alakja.

10. Önadjungált és unitér leképezések.

11. A számelmélet elemei. Egész számok kongruenciája, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek megoldása.

12.  Számelméleti függvények: osztók száma, összege, Euler-féle és Möebius-féle függvény és alkalmazásai. Euler-Fermat tétel. additív és multiplikatív számelméleti függvények viselkedése, átlaguk az osztók számán illusztrálva.

13. Prímszámok sorozatának végtelensége, Dirichlet tételének speciális esetei. Prímszámok reciprokainak összege. Az x-nél nem nagyobb prímek számára vonatkozó becslések.

14. Algebrai számtestek, egész bázis, norma,  egységek, ideálosztályszám. Egyértelmű prímfaktorizáció kérdése algebrai számtestek egészeinek gyűrűjében.

15. Diofantikus egyenletek. Geometriai és additív számelmélet elemei. Minkowski tétele és alkalmazásai, lineáris diofantoszi egyenlőtlenségrendszerek megoldhatósága, természetes számok négyzetösszegként való előállítása.

16. Diofantikus approximáció, Dirichlet tétele, transzcendens számok.

17. A csoport fogalma, izomorfia, permutációcsoportok. Cayley tétele, részcsoportok, mellékosztályok, Lagrange tétele.

18.  Normálosztó, homomorfia tétel, direkt szorzat, véges Abel-csoportok alaptétele. Konjugált osztályok. Feloldható és egyszerű csoportok. 

19. Kommutatív gyűrűk. Főideálgyűrűk és euklideszi gyűrűk. Az egyértelmű prímfaktorizáció tétele gyűrűkben. Dedekind gyűrűk.

20.  Testbővítések, Galois-elmélet és egyenletek gyöképlettel való megoldhatósága. Geometriai szerkeszthetőség elmélete.

Analízis szigorlati tételek

(ML 6215)

1. Halmazok, relációk és függvények. Számosság. Rendezett halmazok.

2. A valós számok halmaza.

3. Komplex számok.

4. Vektorterek, euklideszi terek, metrikus terek. Topológiai alapfogalmak.

5. Sorozatok határértéke (kapcsolata a műveletekkel és a rendezéssel; Cauchy-sorozatok;

nevezetes sorozatok).

6. Számsorok konvergenciája.

7. Függvények folytonossága és határértéke.

8. Függvénysorozatok, függvénysorok, elemi függvények.

9. Egy- és többváltozós függvények differenciálhányadosának fogalma és egyszerű tulajdons

ágai (teljes, iránymenti, parciális deriváltak és kapcsolataik, lineáris approximálhat

óság).

10. Differenciálás és műveletek. Inverz- és implicitfüggvény-tételek. Hatványsorok és elemi

függvények differenciálhatósága.

11. A differenciálszámítás középértéktételei, a L’Hospital szabály.

12. Magasabbrendű deriváltak, Young tétele, Taylor-tétel.

13. Differenciálható függvények szélsőértékszámítása, feltételes szélsőérték. Differenciálható

függvények monotonitása és konvexitása.

14. Valós függvények határozatlan integráljának fogalma, az integrál egyszerű tulajdonságai

(műveleti tulajdonságok, parciális és helyettesítéses integrálás tétele).

15. Egy- és többváltozós függvények Riemann-integráljának fogalma, a Darboux-tétel és

következményei.

16. A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma, szükséges valamint elegendő feltételei.

17. Az integrál, mint a felső határ függvénye, a Newton-Leibniz formula. Improprius integr

álok.

18. A Riemann-integrál egyszerű tulajdonságai (műveleti tulajdonságok, parciális és helyettesítéses

integrálás tétele, egyenlőtlenségek és középértéktételek). Függvénysor összegfüggvényének

integrálja.

19. Korlátos változású függvények. A Riemann-Stieltjes-integrál.

20. Görbék ívhossza, görbementi integrál.

21. Szukcesszív integrálás, integráltranszformáció. A Jordan mérték.

22. A differencálegyenletek elméletének alapfogalmai. Elemi megoldási módszerek.

23. Egzisztencia-unicitás tételek differenciálegyenletekre.

24. Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek. Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek.

25. Peremfeladatok, stabilitási problémák.

26. A variációszámítás alapfeladata. Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenletek.